なんとなく解いた京大の整数問題（2025年のもの）

$${x,y,z}$$を自然数とする
$${N=9z^{2}=x^{6}+y^{4}}$$をみたす最小の自然数を求めよ

京都大学2025年

$${9z^{2}=x^{6}+y^{4}}$$より、右辺は$${3}$$の倍数
ここで、$${x,y}$$がともに$${3}$$の倍数でないとすると（片方が$${3}$$の倍数で他方が$${3}$$の倍数でないなら右辺は$${3}$$の倍数にならないのでその場合は考えない）
平方数を$${3}$$で割った余りは必ず$${1}$$になるため、右辺を$${3}$$で割った余りは必ず$${2}$$となり$${x^{6}+y^{4}}$$は$${3}$$の倍数にならない（※補題参照）

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